DER SPIEGEL
Bert ist Architekt und hat schon viele seltsame Wünsche von Kunden erfüllt. Bei dem siebenstöckigen Büroneubau kommt er jedoch ins Grübeln. Die Bauherrin möchte Fahrstühle einbauen, aber keine gewöhnlichen. Damit die Fahrstühle nicht laufend anhalten, wie sie es frühmorgens aus ihrem alten Gebäude kennt, sollen die Lifte nicht jede Etage bedienen.
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Alle Lifte starten im Erdgeschoss und fahren bis ins oberste Stockwerk - die siebente Etage. Auf den Etagen von eins bis sechs sollen pro Fahrstuhl nur drei Zwischenhalte erlaubt sein. Zugleich möchte die Bauherrin, dass Personen von jeder Etage aus jede andere Etage mit einem Lift erreichen können, ohne unterwegs umsteigen zu müssen.
Was ist die kleinstmögliche Anzahl an Fahrstühlen, mit der Bert die Wünsche der Bauherrin erfüllen kann?
Es müssen sechs Fahrstühle eingebaut werden.
Wir schauen uns die Verbindungen zwischen den Stockwerken eins bis sechs an. Wenn sie die Wünsche der Bauherrin erfüllen, gilt das auch für das Erdgeschoss und die siebente Etage, weil dort alle Lifte halten.
Zwischen erster und sechster Etage gibt es insgesamt 6*5/2 = 15 verschiedene Kombinationen aus zwei Stockwerken. All diese müssen mit den Fahrstühlen möglich sein.
Jeder Fahrstuhl hat drei Halte im Bereich der Etagen eins bis sechs. Ein Fahrstuhl deckt somit drei verschiedene Verbindungen ab. Hält der Lift zum Beispiel in den Stockwerken eins, drei und sechs, sind das die folgenden drei Verbindungen:
-
1 <-> 3
-
3 <-> 6
-
1 <-> 6
Da es bei sechs Stockwerken genau 15 verschiedene Verbindungen zwischen zwei Etagen gibt und ein Fahrstuhl drei verschiedene Verbindungen abdeckt, sollten theoretisch fünf Lifte reichen. In diesem Fall darf jedoch keine Verbindung doppelt vorkommen, weil die fünf Lifte ansonsten nicht alle 15 Verbindungen bedienen können.
Tatsächlich ist es so, dass fünf Lifte nicht ausreichen. Es lässt sich nämlich nicht vermeiden, dass eine Verbindung bei zwei verschiedenen Liften auftaucht. Das sehen wir am Beispiel der ersten Etage. Von dort müssen die fünf Stockwerke darüber ohne Umsteigen erreicht werden. Da für einen Lift, der im ersten Stock hält, nur noch zwei weitere Stopps in den fünf Etagen darüber erlaubt sind, brauchen wir mindestens drei Lifte - zum Beispiel (1,2,3), (1,4,5) und (1,5,6). Mit zwei Liften können wir nur vier der fünf nötigen Halte abdecken. Also muss es mindestes drei Lifte geben, und dann ist mindestens eine Verbindung doppelt (drei Lifte = sechs Halte, aber nur fünf verschiedene sind möglich).
Die Mindestzahl der Lifte liegt daher bei sechs. Und tatsächlich klappt es mit sechs Fahrstühlen, wie folgende Aufteilung zeigt:
-
(1,2,3)
-
(1,4,5)
-
(1,2,6)
-
(2,4,5)
-
(3,4,6)
-
(3,5,6)
Entdeckt habe ich diese Knobelei im Buch "Garten der Sphinx" von Pierre Berloquin.
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