Wie viele Menschen waren in dem Raum? - Spektrum der Wissenschaft

Hemmes mathematische Rätsel: Wie viele Menschen waren in dem Raum?

Ann betritt einen Raum und hebt den Altersdurchschnitt um 4 Jahre. Ihre Zwillingsschwester steigert diesen nach dem Betreten um weitere 3 Jahre.

Der United Kingdom Mathematics Trust (UKMT) ist eine Organisation, die die Mathematikausbildung britischer Kinder unterstützt. Der UKMT wurde 1996 gegründet und organisiert eine Reihe von Mathematikwettbewerben. 2018 gab er die Aufgabensammlung »The Ultimate Mathematical Challenge« heraus, aus der das heutige Rätsel stammt. Sie wurde erstmals 2013 auf der »Hamilton Olympiad« gestellt.

Ann geht in einen Raum, in dem sich schon mehrere Menschen befinden. Dadurch steigt das Durchschnittsalter der Menschen in diesem Raum um vier Jahre. Als kurze Zeit später auch noch Anns Zwillingsschwester Beth den Raum betritt, steigt das Durchschnittsalter noch einmal um drei Jahre. Wie viele Menschen sind in dem Raum gewesen, bevor Ann ihn betreten hat?

Die Zwillinge Ann und Beth sind x Jahre alt. Befinden sich in dem Raum, bevor Ann ihn betritt, n Menschen, die ein Durchschnittsalter von d Jahren haben, so ist das Gesamtalter aller Menschen in dem Raum nd Jahre. Dadurch, dass Ann den Raum betreten hat, ist die Zahl der Menschen in dem Raum auf n + 1, das Gesamtalter aller Menschen auf nd + x Jahre und das Durchschnittsalter auf d + 4 Jahre gestiegen. Es gilt also d + 4 = (nd + x)/(n + 1), was sich zu x = d + 4n + 4 vereinfachen lässt.

Wenn nun auch noch Beth den Raum betreten hat, ist das Durchschnittalter noch einmal um 3 Jahre gestiegen. Folglich gilt d + 4 + 3 = (nd + 2x)/(n + 2), was man zu 2x = 2d + 7n + 14 vereinfachen kann. Setzt man den zuvor gefundenen Ausdruck für x in diese Gleichung ein, erhält man 2(d + 4n + 4) = 2d + 7n + 14 oder n = 6. Es sind also ursprünglich sechs Menschen in dem Raum gewesen.

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