Hemmes mathematische Rätsel: Wie viele Körner erhält die Person? - Spektrum der Wissenschaft

Hemmes mathematische Rätsel: Wie viele Körner erhält die Person?

»Gebt mir 1 Weizenkorn für das erste Feld des Schachbretts, 2 für das zweite, 4 für das dritte, 8 für vierte, und so weiter.«

Ahmad ibn Muhammad ibn Khallikan ist der älteste uns bekannte Autor, der die Geschichte von Sissa ibn Dahir, den legendären Erfinder des Schachspiels aufschrieb. Er wurde 1211 in Arbela im heutigen Nordirak geboren, war Richter in Kairo und Damaskus und starb 1282.

Der indische König Shirham hatte so große Freude am Schachspiel, dass er den Erfinder des Spiels holen ließ und zu ihm sagte: »Du hast einen Wunsch frei.« »Majestät«, antwortete Sissa ibn Dahir. »Gebt mir ein Weizenkorn für das erste Feld des Schachbretts, zwei Körner für das zweite Feld, vier Körner für das dritte Feld, acht Körner für vierte Feld, und dann für jedes weitere Feld immer doppelt so viele Körner wie für das vorherige Feld.« »Du Narr! Ist das alles, was du willst?«, fragte der erstaunte König. War Sissa ibn Dahirs Wunsch tatsächlich so bescheiden, wie der König glaubte? Wie viele Körner hätte der König ihm geben müssen?

König Shirham musste für das erste Schachbrettfeld 1 = 2⁰ Weizenkorn geben, für das zweite 2 = 2¹ Körner, für das dritte 4 = 2² Körner usw. und schließlich für das 64. Feld 2⁶³ Körner. Insgesamt kostete ihn Sissa ibn Dahirs Wunsch s = 2⁰ + 2¹ + 2² + 2³ + … + 2⁶³ Weizenkörner.

Um s berechnen zu können, multipliziert man beide Seiten der Gleichung mit 2. Dadurch erhöht sich auf der rechten Gleichungsseite der Exponent jedes Summanden um 1 und man erhält 2s = 2¹ + 2² + 2³ + 2⁴ + … + 2⁶⁴. Nun zieht man von der neu gewonnenen Gleichung die ursprüngliche ab und so bleibt s = 2⁶⁴ − 2⁰ übrig. Der König hätte also Sissa ibn Dahir 2⁶⁴ − 1 = 18 446 744 073 709 551 615 Weizenkörner geben müssen, aber er konnte den Wunsch unmöglich erfüllen.

Die Weizenernte der ganzen Welt hätte dafür nicht ausgereicht. Die Menge der Körner ist so gewaltig groß, dass man damit ein Siebtel der Oberfläche der Erdkugel einschließlich der Meere bedecken könnte.

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