Hemmes mathematische Rätsel: Wie viele Vögel jeder Sorte wurden gekauft? - Spektrum der Wissenschaft

Hemmes mathematische Rätsel: Wie viele Vögel jeder Sorte wurden gekauft?

Ein Hahn kostet 5, eine Henne 3 und ein Küken 1/3 Euro. Ein Mann kauft 100 Tiere für insgesamt 100 Euro – doch welche?

Der Mathematiker Zhang Qiujian lebte etwa von 430 bis 490 in China. Über sein Leben weiß man heute nichts mehr; das einzige, das seiner Nachwelt geblieben ist, ist das von ihm verfasste mathematische Handbuch »Zhang Qiujian Suanjing«. In diesem Buch taucht erstmals das berühmte Hundert-Vögel-Problem auf, das man auch heute noch in vielen Zeitschriften und Büchern findet.

Ein Mann geht zum Markt und kauft sich für seinen Hühnerhof 100 Tiere. Für einen Hahn muss er fünf Sapeks bezahlen, für eine Henne drei und für je drei Küken einen Sapek. Alle Vögel zusammen kosten 100 Sapeks. Wie viele Tiere jeder Sorte hat der Mann gekauft?

Bezeichnet man die Anzahl der Hähne, Hennen und Küken mit x, y und z, so gilt x + y + z = 100. Multipliziert man nun die Vogelzahlen mit den entsprechenden Preisen, erhält man als zweite Gleichung 5x + 3y + z/3 = 100.

Stellt man die erste Gleichung nach z um und setzt sie dann in die zweite ein, so bekommt man nach einigen Umformungen y = 25 – 7x/4. Da y eine natürliche Zahl ist, muss x durch 4 teilbar sein und darf nicht so groß sein, dass die rechte Gleichungsseite dadurch negativ wird. Dies ist nur für x = 0, 4, 8 und 12 möglich.

Daraus ergibt sich, dass der Mann entweder 25 Hennen und 75 Küken kauft oder aber 4 Hähne, 18 Hennen und 78 Küken oder 8 Hähne, 11 Hennen und 81 Küken oder 12 Hähne, 4 Hennen und 84 Küken.

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